Supermax
300, 20061 Balballa
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Equation et l'inéquation

On ne change pas le sens (« ou l’ordre ») d’une inégalité quand on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres.

Exemple 1 : Résoudre x – 11 < 8.
x – 11 < 8
x – 11 + 11 < 8 + 11
x < 19

Exemple 2 : Résoudre x + 3 > -6.
x + 3 > -6
x + 3 – 3 > -6 – 3
x > -9


Multiplications et divisions

Règle : Multiplications et divisions

- On ne change pas le sens d’une inégalité quand on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre positif.
- On change le sens d’une inégalité quand on multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre négatif.

Exemple 1 : 3x < -12.
3x < -12
3x ÷ 3 < -12 ÷ 3
x < -4

Exemple 2 : -2x < 6
-2x < 6
-2x ÷ (-2) > 6 ÷ (-2)
x > -3



Inéquations : méthode de résolution


Définitions :

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs qui vérifient l’inégalité.
Ces valeurs sont appelées solutions de l’inéquation.

Méthode :

1) On regroupe les termes « en x » dans un même membre et on réduit.
2) On regroupe les termes « sans x » dans l’autre membre et on réduit.
3) On résout.

Exemple :

2x + 4 > 1
2x + 4 – 4 > 1 – 4
2x > -3
2x ÷ 2 > -3 ÷ 2
x > -1,5



Activité : représentation graphique d'inéquations


1) Traduire par une phrase quelles sont les solutions de l’inéquation x > 3, puis colorier ces solutions sur la droite graduée ci-dessous :



Les solutions de l’inéquation x > 3 sont tous les nombres supérieur à 3.

2) Traduire par une phrase quelles sont les solutions de l’inéquation x ≥ 3, puis colorier ces solutions sur la droite graduée ci-dessous :



Les solutions de l’inéquation x ≥ 3 sont 3 et tous les nombres supérieur à 3.

3) Comment différencier les solutions de l’inéquation x > 3 et celles de x ≥ 3.

Il faut utiliser un crochet.



Inéquations et représentation graphique


Exemple 1 : 2x + 4 > 1
2x + 4 > 1
2x + 4 – 4 > 1 – 4
2x > -3
2x ÷ 2 > -3 : 2
x > -1,5

Exemple 2 : -3x ≥ 6
-3x ≥ 6
-3x ÷ (-3) ≤ 6 ÷ (-3)
x ≤ -2
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PGCD d'un nombre

1. Définitions :
(a) Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 11 et qui a pour seul diviseur 11 et lui même.

(b) PGCD de deux nombres entiers
Parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers aa et bb, il y en a un qui est plus grand que tous les autres : c’est le Plus Grand Commun Diviseur à aa et bb. On le note PGCD (a ; b)(a;b).

Il est possible de se restreindre aux entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Exemple : trouver le PGCD de 3636 et de 2424.
Quand il s’agit de petits nombres comme dans cet exemple, on peut faire la liste des diviseurs de chacun des nombres proposés.

Les diviseurs de 3636 sont 11, 22, 33, 66, 99, 1212, 1818 et 3636 et ceux de 2424 sont 11, 22, 33, 44, 66, 88, 1212 et 2424.

Le PGCD de 3636 et de 2424 est 1212.

(c) Entiers premiers entres eux
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 11.

Exemple 1 :
1212 et 77 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun est 11.

Exemple 2 :
2424 et 3636 ne sont pas premiers entre eux cars ils ont des diviseurs communs, autres que 11.

(d) Fractions irréductibles
Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux est irréductible.

2. Détermination de tous les diviseurs d’un nombre entier :
Exemple : Touver les diviseurs de 50.
On cherche toutes les façons possibles d’écrire 5050 sous forme de produit de deux entiers.

On trouve donc les diviseurs de 5050 deux par deux.
50 = 1 \times 5050=1×50
50 = 2 \times 2550=2×25
50 = 5 \times 1050=5×10

Les diviseurs de 5050 sont 11, 22, 55, 1010, 2525, 5050.

Tout nombre entier est divisible par 11 et par lui-même.

3. Détermination du PGCD de deux nombres :
(a) Méthode de recherche par soustractions successives
Si a > b et k diviseur de a et de b alors k est diviseur de leur différence.

Démonstration :
kk diviseur de aa

kk diviseur de bb

a = k \times a'a=k×a

avec a'a

entier

b = k \times b'b=k×b

avec b'b

entier

Alors a-b = ka'-kb'a−b=ka

−kb


= k \times (a'-b')=k×(a

−b

)
= k \times (entier)=k×(entier)
donc kk est diviseur de a-ba−b.

PGCD(a ; b)(a;b)=PGCD(b; a-b)(b;a−b)
PGCD(a ; a)=a(a;a)=a
PGCD(a ; 1)=1(a;1)=1

Exemple : Calculer le PGCD de 26 18726187 et 11 22311223.
On remplace donc la recherche du PGCD de 26 18726187 et 11 22311223 par celle du PGCD de deux nombres plus petits 14 96414964 et 11 22311223.

PGCD (26 187 ; 11 223) = PGCD (14 964(14964 ; 11 223) car 26187-11223 = 14 964=14964

PGCD (14 964 ; 11 223)$ = PGCD (11 223 ; 3 741)3741) car 14964-11223 = 3 7413741

PGCD (11 223 ; 3 741) = PGCD (7 482(7482 ; 3 741) car 11223-3741 = 7 482=7482

PGCD (7 482 ; 3 741)3741) = PGCD (3 741 ; 3 741) car 7482- 3 7413741 = 3741

PGCD (3 741 ; 3 741)3741) = 3 7413741 car 3741-3741 = 00

Conclusion : PGCD (26 187 ; 11 223) = 3 741(26187;11223)=3741

Méthode :

Pour trouver le PGCD de deux nombres aa et b (a > b)b(a>b) par la méthode des soustractions successives, on remplace le plus grand des deux nombres par (a-b)(a−b) puis on réitère le procédé jusqu’à l’obtention de deux nombres égaux (soustraction dont le résultat est nul).

Le PGCD de aa et bb est ainsi égal à ces deux derniers nombres.

(b) Méthode de recherche par divisions successives
Exemple : trouver le PGCD de 819 et 663.
La méthode s’appuie sur le fait qu’un diviseur commun à 810810 et 663663 est aussi un diviseur commun à 663663 et au reste 156156 de la division de 810 par 663. On remplace donc la recherche du PGCD de 810810 et 663663 par la recherche du PGCD de deux nombres plus petits 663663 et 156156.

On recommence le processus de division avec ces deux nouveaux nombres.

On arrête quand on obtient un reste nul, c’est-à-dire lorsque l’un des nombres est multiple de l’autre.

PGCD (819 ; 663) = PGCD (663 ; 156)156) car 819 = 663 X 1 + 156156

PGCD (663 ; 156)156) = PGCD (156 ; 39)39) car 663 = 156 X 4 + 3939

PGCD (156 ; 39)39) = 39 car 156 = 39 X 4 + 00

Le PGCD de 819819 et de 663663 est donc 3939 (dernier reste non nul).

L’Algorithme d’Euclide:
Pour trouver le PGCD de deux nombres aa et bb (a>b)(a>b) par la méthode des divisions successives on remplace le plus grand des deux nombres par le reste rr de la division de aa par bb, puis on réitère le procédé jusqu’à l’obtention de deux nombres dont l’un est multiple de l’autre (division dont le reste et nul).

Le PGCD de aa et bb est ainsi égal au dernier reste non nul.

Note : un algorithme est un énoncé dans un langage bien défini d’une suite d’opérations permettant de résoudre par calcul un problème.

4. Simplification d’une fraction :
Pour rendre irréductible une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Exemple : simplifier \frac{35}{64}
64
35

et \frac{663}{819}
819
663

.
Les nombres 3535 et 5454 étant premier entre eux, la fraction 35643564 est irréductible.

Le PGCD de 819819 et 663663 est 39 donc \dfrac{663}{819}=\dfrac{17 \times 639}{21 \times 639}= \dfrac{17}{21}
819
663

=
21×639
17×639

=
21
17



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